北师大版-必修5 -第一章 数列

快乐课堂

快乐课堂高中数学精讲

北京师范大学出版社（简称“北师大版”）
必修5

第一章 数列

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说明：课本和一般辅导书已有内容，一般不再重复。

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《普通高中数学课程标准》关于高中数学的描述

第一部分 前言

    数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。

   数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。

课程性质

   高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。

   高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。

   高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。

   高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。

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《普通高中数学课程标准》关于本单元内容的标准要求

   数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

  2.数列（约12课时）

   （1）数列的概念和简单表示法

   通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。

   （2）等差数列、等比数列

   ①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。

   ②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。

   ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

   ④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

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本单元包括：数列有关概念、等差和等比两种常用数列，三块知识点。

在本单元学习中，一定始终牢记：数列是一种特殊的函数。

而函数是数形结合的典范，只有善于运用数形结合思想，才能使本单元的学习变得轻松自如。

在每一知识点的学习中，都要想想：用函数角度可以如何表述？用图像可以如何展示？

同时，本单元是一个计算非常多的一个单元，应该继续保持从小学就养成的好习惯，看到计算先观察特征，选择合适的方法进行计算，能简便的一定要简便。

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数列的函数理解。 　　

①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个“定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}"的函数an=f(n)，其中的”{1，2，3，…，n“不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：

a.列表法；b。图像法；c.解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 　

借用图像理解：

有穷数列，无穷数列。

递增数列；递减数列；摆动数列；周期数列常数列。

用符号{an}表示数列，

只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：

1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。

2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。

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等差数列

等差数列是一种非常常用的数列，我们从小学就开始经常接触。

与等差对应的函数是一次函数。

只不过等差数列的定义域特别一些。

由一次函数表达式：Y=KX+B可得等差数列通项公式AN=D（N-1）+A1=DN+(A1-D)。即K是公差，B是(首项-公差)。

由线段的中心对称特征：线段是以中点为中心的中心对称图形。可得等差数列的等差中项公式和求和公式。

等差数列求和公式

     由图像可得公式为SN=N（A1+AN）/2（下标1和N并不固定，只要对称就可以，即“首尾相加法”，但多余老师喜欢称之为“对称相加法”）

     由此公式再经代数变形，得SN=N[A1+A1+D（N-1）]/2=（D/2）N方+（A1-D2/2）N

     即等差数列的和，是关于N的二次方程，且无常数项。

     二次项系数=D/2，可直接得公差，再由一次项系数直接得A1。

由以上可知：

等差数列等同一次函数，等差数列的和等同二次函数。

等差数列的应用

日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。 　　

其于数学的中的应用，可举例： 　　

快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个 　　

算法不止一种，这里介绍用数列算 　　

令等差数列首项a1=24（24为6的4倍），等差d=6,; 　　

于是令an = 24+(n-1)*6<=132即可解出n=19

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等比数列

等比数列在生活中也是常常运用的。 　　

如：银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金价在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 　　

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

与等比对应的函数是指数函数。只不过定义域特别一些外，稍多一点点变形。

由指数函数Y=A^X变形为Y=K*A^X,多了一个系数K,在函数图像上,系数K起到将Y=A^X图像纵向拉伸的作用.对应比较等比通项AN=A1*Q^(N-1),K即首项,A为公比,唯一要注意一点X是0起点,N是1起点.

由于指数函数图像,不具有对称性,所以等比的有关性质不是由几何特征得到,而是代数特征得到.

"比"来源于除法,所以要注意"0"的限制.再加上0和1这两个特殊数,可知:

1,等比的任何一项不可能为0.

2,非0常数列,既是公差为0的等差,又是公比为1的等比.

两个相等比值的比可组成比例,由比例知识可知:

1,等比的任一项现与它等距的两项可组成比例.即等比任一项是与它等距的两项的等比中项(即比例中项).从这个角度来说,等比也具有某种角度的对称性(即以任一项为中点,对称两项的积不变).

2,等比有关问题要注意比例知识的应用.

等比数列求和公式

由于等比通项包含乘的运算,且具有连续性.所以具有类似特征的数列,进行求和时,首先考虑使用"错位抵消法"

即新造一个数列,使原数列和新数列错位,两列抵消后,剩余项越少越好,然后再求和.

等比求和的过程是这样的:

SN=A1+A1*Q+A1*Q^2+A1*Q^3+******+A1*Q^(N-1)

可以发现只要每一项乘Q就变成下一项,所以新数列在原基础上乘N

N*SN=(空)+A1*Q+A1*Q^2+A1*Q^3+******+A1*Q^(N-1)+A1*Q^N(多出)

两式抵消后,就只剩下两项了.

(N-1)SN=A1*Q^N-A1,

得SN=(A1*Q^N-A1)/(N-1)=A1(Q^N-1)/(Q-1)

由公式结构可知,Q-1不能为0,即公比为1时,此公式不可使用,这一点一定要切记切记!

因此公比求和必须分两种情况讨论=1和Q不=1.

由于等比通式和等比求和都涉及除法,所以陷井多多,同学们不可不慎!

yudaban

没有创意。罗列而已。

yudaban

语大班强项英语。对数学了解一二。数列本质上是数据处理的一种方法而已。在高中数学教材引进算法初步以后，我感觉以后如果不把数列、函数、算法初步综合在一起，数列单独成章的价值并不大。

yudaban

发贴的再不发有创意的，我要下手了。